Введение в недоопределенность

2. Основные понятия

В предыдущей главе мы выяснили два основных различия Н-математики от привычной традиционной:

  • Традиционная вычислительная математика решает задачи на основе алгоритмического подхода, а Н-матемика оперирует моделями;
  • Понятие переменной в Н-математике принципиально отличается от традиционной классической переменной.

Соотношением алгоритма и модели мы займемся специально в главе 3, а в данной главе доопределим Н-переменную и введем понятия Н-расширения, Н-операции и Н-отношения.

2.1. Н-переменная и Н-расширение

В п.1.2 мы сравнили два основных понятия переменной — алгоритмической и классической. Первая в общем случае не имеет прямого отношения к параметрам объекта расчетов, но может менять значение в ходе процесса вычислений. Вторая наоборот, прямо соответствует параметру объекта, но получать значение может один раз — в результате решения задачи.

Мы уже убедились, что Н-переменная содержательно принципиально отличается и от той и от другой. С одной стороны, Н-переменная, как и классическая, ставится в соответствие конкретному параметру объекта моделирования. С другой, ее недоопределенное значение в общем случае уточняется, т.е. меняется, в ходе решения. Это радикально изменяет сам аппарат ее использования в процессе вычисления.

Так что введение основных понятий Н-математики придется начать с завершения рассмотрения особого содержания Н-переменной, которое отражается не только на области ее значений, но и на ее прагматике.

Выше уже упоминалось, что в Н-математике выражения *х = *а1(где это Н-переменная, а *а1 - ее Н-значение) получает следующий смысл: значение переменной х, представленной Н-переменной , принадлежит подобласти значений х, представленной Н-значением 1.

При этом в процессе Н-вычислений ключевую роль играет операция присваивания : при *х = *а1присвоение *х:= *а2интерпретируется следующим образом : значение х принадлежит как подобласти 1, так и подобласти *а2, т.е. результат присвоения таким образом принадлежит одновременно обоим этим областям и определяется, следовательно, как *х = *а12. Например, для Н-чисел, представленных интервалами, это выглядит следующим образом:

или верхняя граница нового значения *равна min верхних границ 1 и 2, а нижняя граница нового значения *равна max нижних границ 1 и 2.

Очевидно, что если интервалы не пересекаются, то по приведенным выше формулам получим результирующий интервал, в котором нижняя граница больше правой, т.е. противоречие, — что говорит об отсутствии решения.

Операция присваивания для Н-переменных является ключевым компонентом аппарата Н-моделей, обеспечивающим процесс решения таким образом, что в его рамках любая Н-переменная может только уточняться и весь процесс стягивания k -мерного пространства является монотонным.

2.2. Н-операция и Н-отношение

Возможность оперировать с Н-переменными относится не только к вычислительной алгебре и параметрам-числам. Любой формальной системе можно сопоставить ее недоопределённое расширение (Н-расширение) , которое включает как соответствующий тип Н-переменной (логический для алгебры логики, множества для теории множеств, и т.п.), так и соответствующее расширение операций (Н-операции) и отношений (Н-отношения) исходной формальной системы.

Каждой k -местной операции f  над обычными значениями a1 ,..., , ak, принадлежащими соответственно областям A1,..., Ak:

f: A1,..., , Ak →Ak+1,

сопоставим ее Н-расширение над соответствующими Н-значениями (Н-операция и Н-переменные далее, как и выше, отмечаются звездочкой):

*f: *A1,...,*Ak → *Ak+1,

результат которой для любого набора Н-значений * a1,...,* a k определяется как множество значений операции f для всех возможных наборов значений a1 ,..., ak, принадлежащих Декартову произведению *a1x ... x*ak. Т.е.

*f (* a1 ,...,* ak) = {f ( a1 ,..., ak) | ai ∈* ai, i = 1,..., k}.

Например, Н-расширению операции x : = z  — у над Н-значениями *y = {7, 8,} и *z = {12, 13, 14} соответствует Н-операция вычитания, комбинирующая все значения *y и *z и дающая в результате значение *x = {4, 5, 6, 7}.

Поскольку Н-математика оперирует с моделями, а они, как уже было сказано выше, представляют собой системы отношений, связывающих множество параметров (т.е. Н-переменных) данной задачи, то нам необходимо также познакомиться с Н-расширениями отношений.

Как уже упоминалось, в сякое отношение r (а1,...,аk) определяет некоторое подмножество Декартова произведения областей значений A1 х...х Ak. Оно может интерпретироваться набором функций аi=fi(а1,..., аi-1, аi+1,...,аk), отображающих подмножество r (а1, ... , аk) на области значений каждой из переменных а1,..., аk.

На этой иллюстрации тело отношения r(x,y) интерпретируется функций y= f'(x), сопоставляющей каждому х1 в общем случае интервал [у2, у1]. Аналогична и вторая функция интерпретации x=f''(y). Для отношений, определенных в символьном виде — например, уравнений — функции интерпретации определяются эквивалентными выражениями, представляющими каждую переменную явно через остальные.

Например, уравнению x + y  — z = 0  соответствуют три функции интерпретации:

z: = x+y; x: = z-y; y: = z-x;

Таким образом, Н-отношение

*r (*x1,...,*xk) интерпретируется k Н-функциями

*xi = *Fi(*x1,...,*xi-1, *xi+1,..., *xk) i = 1,..., k ,

где каждая Н-функция *Fi (*x1,...,*xi-1, *xi+1,...,*xk) реализует Н- операцию *fi (*а1,...,*аi-1, *аi+1,...,*аk), при всех *xj = *аj. Если значение числовой Н-переменной *x представлять интервалом [x-, x-] , где x- — минимум, а x-- максимум Н- значения *x , то уравнение нашего примера

x + y - z = 0 

будет интерпретироваться шестью функциями интервальной алгебры [20]:

z-: = x-+y-;
z-: = x-+y-;
x-: = z- - y-;
x-: = z- - y-;
y-: = z- - x-;
y-: = z- - x-;

Недоопределенность и Н-модели | Оглавление | Иллюстративный пример

Перепечатывается с разрешения автора
Статья помещена в музей 29.09.2008 года






Рекомендуемый контент




Copyright © 2010-2017 housea.ru. Контакты: info@housea.ru При использовании материалов веб-сайта Домашнее Радио, гиперссылка на источник обязательна.